Enigmes - Volume Rugby

Supposons que la probabilité de naissance d’un garçon soit de 51.2% pour l’année considérée, et ce dans les deux maternités (moyenne française 2005).
Supposons en outre que la croix est ajoutée dans le carnet de bord lorsque le taux de garçons dépasse strictement le seuil de 60% (l’énoncé n’est pas précis sur ce point), choix qui a une incidence les jours où le nombre de naissances est un multiple de 5.
Il est donné que chaque maternité voit en moyenne N naissances par jour, mais il y a évidemment des jours avec plus de naissances, et des jours avec moins : la loi de Poisson de paramètre N permet alors de calculer la probabilité d’avoir, un jour donné, exactement k naissances.
Ensuite, la loi binomiale de paramètres k et p=.512 donne la probabilité d’avoir exactement i naissances de garçons sur le nombre total k de naissances de ce jour donné : il suffit alors de faire la somme des probabilités pour i>k*60% (dépassement strict du seuil) afin d’obtenir la probabilité totale d’inscrire une croix dans le carnet de bord lorsqu’il y a k naissances (cette correspondance entre k et la probabilité est bien sûr la même pour les deux maternités).
On pondère alors ces probabilités d’inscrire une croix pour k naissances par la probabilité d’avoir effectivement k naissances un jour donné (cette pondération, donnée par la loi de Poisson, dépendant cette fois du nombre moyen N de naissances dans la maternité) pour obtenir la probabilité globale d’inscrire une croix dans le carnet de bord de la maternité (une sorte de « moyenne de la moyenne », si l’on peut dire).
Le calcul précis donne :
• 11.49986% pour N=45 (grande maternité), soit pratiquement 42 (!) croix au bout d’un an ;
• 23.72299% pour N=15 (petite maternité), soit presque 87 croix au bout d’un an.
Le calcul prouve donc numériquement le résultat obtenu précédemment en raisonnant sur l’évolution des écarts types, la petite maternité gagnant largement avec, en moyenne, un peu plus du double de croix que dans la grande maternité.